Analizar un circuito de la serie RC utilizando una ecuación diferencial

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Por John Santiago

Un circuito de primer orden de la serie RC tiene una resistencia (o red de resistencias) y un condensador conectado en serie. Los circuitos RC de primer orden pueden ser analizados usando ecuaciones diferenciales de primer orden. Analizando un circuito de primer orden, usted puede entender su tiempo y retrasos.

He aquí un ejemplo de un circuito RC de serie de primer orden.

Si su circuito de la serie RC tiene un condensador conectado a una red de resistencias en lugar de una sola, puede utilizar el mismo método para analizar el circuito. Basta con encontrar el equivalente de Thévenin primero, reduciendo la red de resistencias a una sola resistencia en serie con una sola fuente de voltaje.

El sencillo circuito de la serie RC que se muestra aquí es accionado por una fuente de tensión. Debido a que la resistencia y el condensador están conectados en serie, deben tener la misma corriente i(t). Para el circuito de muestra y lo que sigue a continuación, deje R=RT.

Para encontrar el voltaje a través de la resistencia vR(t), se usa la ley de Ohm para un dispositivo de resistencia:

La restricción de elemento para un condensador se da como

donde v(t) es la tensión del condensador.

La generación de corriente a través de un condensador requiere un cambio de voltaje. Si la tensión del condensador no cambia, la corriente en el condensador es igual a 0. La corriente cero implica una resistencia infinita para una tensión constante a través del condensador.

Ahora sustituya la corriente del condensador i(t) = Cdv(t)/dt en la ley de Ohm por la resistencia R, porque la misma corriente fluye a través de la resistencia y el condensador. Esto le da el voltaje a través de la resistencia, vR(t):

La ley de tensión de Kirchhoff (KVL) dice que la suma de las subidas y bajadas de tensión alrededor de un bucle de un circuito es igual a 0. El uso de KVL para el circuito de la serie RC de muestra le permite

Ahora sustituya vR(t) en KVL:

Ahora tienes una ecuación diferencial de primer orden donde la función desconocida es la tensión del condensador. Conocer el voltaje a través del condensador le da la energía eléctrica almacenada en un condensador.

En general, la tensión del condensador se denomina variable de estado porque la tensión del condensador describe el estado o el comportamiento del circuito en cualquier momento.

Una manera fácil de recordar que las variables de estado, como la tensión del condensador vC(t) y la corriente del inductor iL(t), describen la situación actual del circuito es pensar en la posición y la velocidad instantánea de su coche como las variables de estado de su coche. Si está corriendo por la majestuosa carretera del Parque Nacional de las Montañas Rocosas, su posición GPS y la velocidad de su coche describen el estado actual de su conducción.

El circuito de la serie RC es un circuito de primer orden porque está descrito por una ecuación diferencial de primer orden. Un circuito reducido a tener una sola capacitancia equivalente y una sola resistencia equivalente es también un circuito de primer orden. El circuito tiene una tensión de entrada aplicada vT(t).

Para encontrar la respuesta total de un circuito de la serie RC, es necesario encontrar la respuesta de entrada cero y la respuesta de estado cero y luego sumarlas. Aquí hay un circuito de la serie RC dividido en dos circuitos. El diagrama superior derecho muestra la respuesta de entrada cero, que se obtiene ajustando la entrada a 0. El diagrama inferior derecho muestra la respuesta de estado cero, que se obtiene ajustando las condiciones iniciales a 0.

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