Analizar un circuito RC de primer orden utilizando los métodos Laplace

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Por John Santiago

El uso de la transformación de Laplace como parte de su análisis de circuitos le proporciona una predicción de la respuesta del circuito. Analice los polos de la transformación de Laplace para obtener una idea general del comportamiento de la salida. Los polos reales, por ejemplo, indican un comportamiento exponencial de la salida.

Siga estos pasos básicos para analizar un circuito utilizando las técnicas de Laplace:

  1. Desarrollar la ecuación diferencial en el dominio del tiempo utilizando las leyes de Kirchhoff y las ecuaciones de elementos.
  2. Aplica la transformación Laplace de la ecuación diferencial para poner la ecuación en el s-dominio.
  3. Resuelve algebraicamente para la solución, o transformación de respuesta.
  4. Aplicar la transformación inversa de Laplace para producir la solución a la ecuación diferencial original descrita en el dominio del tiempo.

Para sentirse cómodo con este proceso, basta con practicar su aplicación a diferentes tipos de circuitos, como un circuito RC (resistor-capacitor), un circuito RL (resistor-inductor) y un circuito RLC (resistor-inductor-capacitor).

Considere el simple circuito de primer orden de la serie RC que se muestra aquí. Para establecer la ecuación diferencial para este circuito en serie, puede utilizar la ley de tensión de Kirchhoff (KVL), que dice que la suma de las subidas y bajadas de tensión alrededor de un circuito es cero. Este circuito tiene la siguiente ecuación KVL alrededor del bucle:

A continuación, formule la ecuación del elemento (o característica i-v) para cada dispositivo. La ecuación del elemento para la fuente es

Use la ley de Ohm para describir el voltaje a través de la resistencia:

La ecuación del elemento del condensador se da de la siguiente manera

Sustituyendo esta expresión por i(t) en vR(t) se obtiene la siguiente expresión:

La sustitución de vR(t), vC(t) y vS(t) en la ecuación KVL conduce a

Ahora reordena la ecuación para obtener la ecuación diferencial de primer orden deseada:

Ahora estás listo para aplicar la transformación Laplace de la ecuación diferencial en el s-domain. El resultado es

A la izquierda, la propiedad linealidad se utilizó para tomar la transformación Laplace de cada término. Para el primer término en el lado izquierdo de la ecuación, se utiliza la propiedad de diferenciación, que le da

Esta ecuación utiliza VC(s)=ℒ[vC(t)], y V0 es la tensión inicial a través del condensador.

Utilizando la tabla siguiente, la transformación Laplace de una función escalonada le proporciona esto:

Basándose en las expresiones precedentes para las transformaciones de Laplace, la ecuación diferencial se convierte en la siguiente:

Luego, reordena la ecuación:

Resuelva para la salida Vc(s) para obtener la siguiente solución de transformación:

Al realizar una transformación Laplace inversa de VC(s) para una condición inicial dada, esta ecuación conduce a la solución vC(t) de la ecuación diferencial original de primer orden.

Ir al Paso 3 del proceso. Para obtener la solución de dominio temporal vC(t), necesita hacer una expansión de fracción parcial para el primer término en el lado derecho de la ecuación anterior:

Necesitas determinar las constantes A y B. Para simplificar la ecuación anterior, multiplica ambos lados por s(s + 1/RC) para eliminar los denominadores:

Reorganizar algebraicamente la ecuación recogiendo términos similares:

Para que el lado izquierdo de la ecuación anterior sea cero, los coeficientes deben ser cero (A + B = 0 y A – VA = 0). Para las constantes A y B, se termina con A = VA y B = -VA. Sustituye estos valores en la siguiente ecuación:

La sustitución le lleva a:

Ahora sustituye la expresión anterior en la ecuación de VC(s) para obtener la solución de transformación:

Eso completa la expansión parcial de la fracción. Luego puedes usar la tabla dada anteriormente para encontrar la transformación Laplace inversa para cada término en el lado derecho de la ecuación anterior.

El primer término tiene la forma de una función escalonada, y los dos últimos términos tienen la forma de un exponencial, por lo que la transformación Laplace inversa de la ecuación anterior te lleva a la siguiente solución vC(t) en el dominio del tiempo:

El resultado muestra que cuando el tiempo t se acerca al infinito, el condensador se carga al valor de la entrada VA. También, el voltaje inicial del condensador eventualmente muere a cero después de un largo período de tiempo (cerca de 5 constantes de tiempo, RC).

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