Analizar un circuito RL de primer orden utilizando los métodos Laplace

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Por John Santiago

El uso de la transformación de Laplace como parte de su análisis de circuitos le proporciona una predicción de la respuesta del circuito. Analice los polos de la transformación de Laplace para obtener una idea general del comportamiento de la salida. Los polos reales, por ejemplo, indican un comportamiento exponencial de la salida.

Siga estos pasos básicos para analizar un circuito utilizando las técnicas de Laplace:

  1. Desarrollar la ecuación diferencial en el dominio del tiempo utilizando las leyes de Kirchhoff y las ecuaciones de elementos.
  2. Aplica la transformación Laplace de la ecuación diferencial para poner la ecuación en el s-dominio.
  3. Resuelve algebraicamente para la solución, o transformación de respuesta.
  4. Aplicar la transformación inversa de Laplace para producir la solución a la ecuación diferencial original descrita en el dominio del tiempo.

Para sentirse cómodo con este proceso, basta con practicar su aplicación a diferentes tipos de circuitos, como un circuito RC (resistor-capacitor), un circuito RL (resistor-inductor) y un circuito RLC (resistor-inductor-capacitor).

Aquí hay un circuito RL que tiene un interruptor que ha estado en la posición A durante mucho tiempo. El interruptor se mueve a la posición B en el momento t = 0.

Para este circuito, tienes la siguiente ecuación KVL:

A continuación, formule la ecuación del elemento (o característica i-v) para cada dispositivo. Usando la ley de Ohm para describir el voltaje a través de la resistencia, usted tiene la siguiente relación:

La ecuación del elemento inductor es

Sustituyendo las ecuaciones de elementos, vR(t) y vL(t), en la ecuación KVL se obtiene la ecuación diferencial de primer orden deseada:

Ir al Paso 2: Aplicar la transformación de Laplace a la ecuación diferencial:

La ecuación anterior usa la propiedad de linealidad que dice que puedes tomar la transformación Laplace de cada término. Para el primer término en el lado izquierdo de la ecuación, se utiliza la propiedad de diferenciación:

Esta ecuación usa IL(s) = ℒ[iL(t)], e I0 es la corriente inicial que fluye a través del inductor.

La transformación Laplace de la ecuación diferencial se convierte en

Resolver para IL(s):

Para una condición inicial dada, esta ecuación proporciona la solución iL(t) a la ecuación diferencial original de primer orden. Simplemente se realiza una transformación Laplace inversa de IL(s) – o se busca el par de transformación apropiado en esta tabla – para volver al dominio de tiempo.

La ecuación anterior tiene una forma exponencial para el par de transformación de Laplace. Usted termina con la siguiente solución:

El resultado muestra que a medida que el tiempo t se acerca al infinito, la corriente inicial del inductor finalmente muere a cero después de un largo período de tiempo – alrededor de 5 constantes de tiempo (L/R).

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