Analizar un circuito RLC utilizando los métodos de Laplace

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Por John Santiago

El uso de la transformación de Laplace como parte de su análisis de circuitos le proporciona una predicción de la respuesta del circuito. Analice los polos de la transformación de Laplace para obtener una idea general del comportamiento de la salida. Los polos reales, por ejemplo, indican un comportamiento exponencial de la salida.

Siga estos pasos básicos para analizar un circuito utilizando las técnicas de Laplace:

  1. Desarrollar la ecuación diferencial en el dominio del tiempo utilizando las leyes de Kirchhoff y las ecuaciones de elementos.
  2. Aplica la transformación Laplace de la ecuación diferencial para poner la ecuación en el s-dominio.
  3. Resuelve algebraicamente para la solución, o transformación de respuesta.
  4. Aplicar la transformación inversa de Laplace para producir la solución a la ecuación diferencial original descrita en el dominio del tiempo.

Para sentirse cómodo con este proceso, basta con practicar su aplicación a diferentes tipos de circuitos, como un circuito RC (resistor-capacitor), un circuito RL (resistor-inductor) y un circuito RLC (resistor-inductor-capacitor).

Aquí se puede ver un circuito RLC en el que el interruptor ha estado abierto durante mucho tiempo. El interruptor está cerrado en el tiempo t = 0.

En este circuito, tienes la siguiente ecuación KVL:

A continuación, formule la ecuación del elemento (o característica i-v) para cada dispositivo. La ley de Ohm describe el voltaje a través de la resistencia (notando que i(t) = iL(t) porque el circuito está conectado en serie, donde I(s) = IL(s) son las transformaciones de Laplace):

La ecuación del elemento inductor viene dada por

Y la ecuación del elemento del condensador es

Aquí, vC(0) = V0 es la condición inicial, y es igual a 5 voltios.

Sustituyendo las ecuaciones de elementos, vR(t), vC(t), y vL(t), en la ecuación KVL se obtiene la siguiente ecuación (con un nombre de fantasía: la ecuación integro-diferencial):

El siguiente paso es aplicar la transformación de Laplace a la ecuación anterior para encontrar una I(s) que satisfaga la ecuación integro-diferencial para un conjunto dado de condiciones iniciales:

La ecuación anterior usa la propiedad de linealidad que te permite tomar la transformación Laplace de cada término. Para el primer término en el lado izquierdo de la ecuación, usas la propiedad de diferenciación para obtener la siguiente transformación:

Esta ecuación usa IL(s) = ℒ[i(t)], e I0 es la corriente inicial que fluye a través del inductor. Debido a que el interruptor está abierto durante mucho tiempo, la condición inicial I0 es igual a cero.

Para el segundo término de la ecuación KVL que trata de la resistencia R, la transformación de Laplace es simplemente

Para el tercer término en la expresión KVL que trata del condensador C, usted tiene

La transformación Laplace de la ecuación integro-diferencial se convierte en

Reorganizar la ecuación y resolver para I(s):

Para obtener la solución de dominio temporal i(t), usa la siguiente tabla, y nota que la ecuación anterior tiene la forma de un sinusoide amortiguador.

Ahora, conecte I0 = 0 y algunos números de esta cifra:

Ahora tienes esta ecuación:

Usted termina con la siguiente solución:

Para este circuito RLC, usted tiene un sinusoide de amortiguación. Las oscilaciones desaparecerán después de un largo período de tiempo. Para este ejemplo, la constante de tiempo es 1/400 y se apagará después de 5/400 = 1/80 segundos.

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