Aplicación de la ecuación de Schrödinger en tres dimensiones

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Por Steven Holzner

En física cuántica, se puede aplicar la ecuación de Schrödinger cuando se trabaja en problemas que tienen un potencial central. Estos son problemas en los que se puede separar la función de onda en una parte radial (que depende de la forma del potencial) y una parte angular, que es un armónico esférico.

Los potenciales centrales son potenciales esféricamente simétricos, del tipo V(r) = V(r). En otras palabras, el potencial es independiente de la naturaleza vectorial del vector de radio; el potencial depende sólo de la magnitud del vector r (que es r), no del ángulo de r.

La ecuación de Schrödinger se ve así en tres dimensiones, donde

es el operador laplaciano:

Y el operador laplaciano se ve así en coordenadas rectangulares:

En coordenadas esféricas, está un poco desordenado, pero puedes simplificarlo más tarde. Mira el operador esférico laplaciano:

Aquí, L2 es el cuadrado del momento angular orbital:

Así que en coordenadas esféricas, la ecuación de Schrödinger para un potencial central se ve así cuando se sustituyen los términos:

Echa un vistazo a la ecuación anterior. El primer término corresponde en realidad a la energía cinética radial, es decir, la energía cinética de la partícula que se mueve en la dirección radial. El segundo término corresponde a la energía cinética de rotación. Y el tercer término corresponde a la energía potencial.

Entonces, ¿qué puede decir sobre las soluciones a esta versión de la ecuación de Schrödinger? Puede notar que el primer término depende sólo de r, al igual que el tercero, y que el segundo término depende sólo de los ángulos. Así que puedes romper la función de onda,

en dos partes:

  • Una parte radial
  • Una parte que depende de los ángulos

Esta es una propiedad especial de los problemas con potenciales centrales.

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