Aplicar la función de impulso al análisis de circuitos

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Por John Santiago

La función de impulso, también conocida como función delta de Dirac, le ayuda a medir un pico que ocurre en un instante de tiempo. Piensa en la función de impulso con picos (función delta de Dirac) como una que es infinitamente grande en magnitud e infinitamente delgada en el tiempo, teniendo un área total de 1. Las fuerzas de impulso ocurren durante un corto período de tiempo, y la función de impulso te permite medirlas.

Visualice el impulso como una forma limitante de un pulso rectangular de una unidad de área. Específicamente, a medida que se disminuye la duración del pulso, su amplitud aumenta de modo que el área permanece constante en unidad. Cuanto más disminuye la duración, más se acerca el pulso rectangular a la función de impulso.

El diagrama de abajo muestra la forma límite del pulso rectangular que se aproxima a un impulso.

Entonces, ¿cuál es el uso práctico de la función de impulso? Al utilizar el impulso como señal de entrada a un sistema, puede revelar el comportamiento de salida o el carácter de un sistema. Después de conocer el comportamiento del sistema para un impulso, puede describir el comportamiento de salida del sistema para cualquier entrada.

¿Por qué es eso? Porque cualquier entrada se modela como una serie de impulsos que se desplazan en el tiempo con alturas, amplitudes o fuerzas variables.

Aquí está la descripción de la función de impulso:

Identificar las funciones de impulso en el día a día

Algunos fenómenos físicos están muy cerca de ser modelados con funciones de impulso. Un ejemplo es el de los relámpagos. Los rayos tienen mucha energía y se producen en poco tiempo. Eso encaja con la descripción de una función de impulso.

Un impulso ideal tiene una amplitud infinitamente alta (alta energía) y es infinitamente delgado en el tiempo. Mientras conduce a través de una tormenta eléctrica, es posible que escuche un ruido de estallido si está sintonizado en una estación meteorológica de radio. Este ruido se produce cuando la energía del rayo interfiere con la señal procedente de la estación meteorológica de radio.

Otro ejemplo de una función de impulso del mundo real es una bomba. Una bomba poderosa tiene mucha energía que ocurre en poco tiempo. Del mismo modo, los fuegos artificiales, incluidas las bombas de cereza, producen ruidos fuertes -energía de audio- que se producen como una serie de ruidos chasqueantes de corta duración.

Esta descripción matemática dice que la función de impulso ocurre en un solo punto en el tiempo; la función es cero en otro lugar. El impulso aquí ocurre en el origen del tiempo – es decir, cuando decides dejar t = 0 (no al principio del universo o algo así).

El diagrama de arriba a la izquierda muestra una función ideal de impulso de la unidad con una gran amplitud y una corta duración.

Puede describir el área de la función de impulso como la fuerza del impulso:

En el momento t = 0, el área es una constante con un valor de 1; y antes de t = 0, el área es igual a 0. La integración del impulso resulta en otra función funky, u(t), llamada función de paso. Puede ver el impulso como una derivación de la función de paso u(t) con respecto al tiempo:

Lo que estas dos ecuaciones te dicen es que si conoces una función, puedes determinar la otra función.

Cambiar la fuerza del impulso

La figura muestra un impulso con un área (o fuerza) igual a 1. Para tener un área o fuerza K diferente, puede modificar el impulso:

El área por debajo de la curva viene dada por la fuerza K. El resultado de integrar el impulso le lleva a otra función de paso con amplitud o fuerza K.

Retrasar un impulso

Los impulsos pueden retrasarse. Analíticamente, usted puede describir un impulso retardado que ocurre más tarde, digamos, en el momento τ

Esta ecuación dice que el impulso ocurre sólo en un momento posterior τ y en ninguna otra parte, o es igual a 0 en el momento no igual a τ. Usted ve un impulso retardado en el diagrama superior derecho que se muestra aquí.

Para un ejemplo numérico, deje que un impulso que tenga una fuerza de 10 ocurra en tiempo retardado τ = 5. Puede describir el impulso retardado como

La ecuación dice que el impulso, que tiene fuerza K = 10, ocurre sólo en un momento τ = 5 más tarde y que el impulso no ocurre en ningún otro lugar. En otras palabras, el impulso es igual a 0 cuando el tiempo no es igual a 5.

Evaluar las funciones de impulso con integrales

Asumiendo que x(t) es una función continua que se multiplica por un impulso de desplazamiento temporal (o retardado), la integral del producto se expresa y evalúa de la siguiente manera:

Esta evaluación sólo se realiza donde se produce el impulso, en un solo punto y en ningún otro lugar. La ecuación anterior tamiza o selecciona el valor de x(t) en un momento igual a t0. Esta integración es una de las integraciones más fáciles que encontrará.

He aquí un ejemplo numérico simple con x(t) = 5t2 + 3t + 6 y t0 = 5:

Una forma muy divertida de integrarse analíticamente, ¿no? La integración conduce a una función (o constante) de paso retardado (o temporizado) que comienza con un tiempo retardado de t0 = 5.

Puede modelar cualquier función suave x(t) como una serie de impulsos retardados y temporizados de la siguiente manera:

Esta ecuación dice que puedes dividir cualquier función x(t) en una suma de un montón de funciones de impulso retardado con diferentes intensidades. El valor de la fuerza es simplemente la función x(t) evaluada donde ocurre el impulso de cambio en el momento τ o t.

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