Aplicar la función de pasos de la unidad al análisis de circuitos

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Por John Santiago

La función de paso de unidad (campo pesado) modela el comportamiento de un interruptor (apagado/encendido). La función de paso de la unidad puede describir cambios repentinos en la corriente o el voltaje de un circuito. La función de paso de la unidad parece, bueno, un paso. Las prácticas funciones de pasos se realizan a diario, como cada vez que enciende y apaga dispositivos móviles, equipos estéreo y luces. Aquí está la definición general de la función de paso de la unidad:

Por lo tanto, esta función de paso es igual a 0 cuando el tiempo t es negativo y es igual a 1 cuando el tiempo t es 0 o positivo. Alternativamente, puedes decir que hay un salto en el valor de la función en el tiempo t = 0. Los gurús matemáticos llaman a este salto una discontinuidad.

Aunque no se puede generar una función paso a paso ideal, se puede aproximar a una función paso a paso. Esto es lo que parece una función de paso, junto con un circuito que es aproximadamente una función de paso.

Crear una función de paso ponderado con desplazamiento temporal

La aproximación del circuito de la función de pasos mostrada anteriormente asume que usted puede cambiar rápidamente de apagado a encendido en el tiempo t = 0 cuando el interruptor es lanzado.

Aunque la función de paso de la unidad no parece hacer mucho, es una señal versátil que puede construir otras formas de onda. En un gráfico, puede hacer que el paso se reduzca o se estire. Puede multiplicar la función de paso u(t) por una amplitud constante Vk para producir la siguiente forma de onda:

La báscula o el peso de la entrada de la unidad es Vk. La amplitud Vk mide el tamaño del salto en el valor de la función.

Puedes mover la función de paso en el tiempo con un desplazamiento de Ts, lo que te lleva a una forma de onda desplazada y ponderada:

Esta ecuación dice que la función es igual a 0 antes del tiempo Ts y que el valor de la función salta a Vk después del tiempo Ts. Aquí se ve la función de paso ponderada por Vk con un desplazamiento de tiempo de Ts.

Puede agregar dos funciones de pasos para formar una función de pulso, como se explica en la siguiente sección.

Análisis de circuitos y funciones de pasos de desplazamiento

Las funciones de pasos pueden bailar, pero no es el tipo de baile de twist-and-shout. La función puede ampliarse o reducirse y desplazarse hacia la izquierda o la derecha. Puede agregar esas funciones de paso modificadas para hacer aún más funky funciones de paso.

Por ejemplo, puede generar un pulso rectangular como una suma de dos funciones de paso. He aquí un visual de este concepto, que muestra un pulso rectangular que consiste en la suma de dos funciones de paso en el tiempo.

Antes de 1 segundo, el valor del pulso es 0. Entonces la amplitud del pulso salta a un valor de 3 y se mantiene en ese valor entre 1 y 2 segundos. El pulso regresa a 0 en el tiempo t = 2 segundos. Se termina con el pulso rectangular p(t) descrito como la suma de las funciones de dos pasos:

Esta expresión dice que se crea un pulso con una función de paso con desplazamiento temporal a partir de 1 segundo con una amplitud de 3 y se añade a otra función de paso con desplazamiento temporal a partir de 2 segundos con una amplitud de -3. Puede ver el pulso como una función de puerta para que los interruptores electrónicos permitan o impidan el paso de una señal.

Construir una función de rampa con una función de paso

La integral de la función de paso genera una función de rampa, que consiste en dos funciones multiplicadas juntas:

La función de tiempo tu(t) es simplemente una función de rampa con una pendiente (o fuerza) de 1, y la función de paso de unidad sirve como una herramienta matemática conveniente para iniciar la rampa en el momento t = 0. Puede agregar una fuerza K a la rampa y desplazar la función de rampa en el tiempo por TS de la siguiente manera:

La rampa no arranca hasta el TS. Antes del cambio de tiempo TS, la función de rampa es 0. Después del tiempo TS, la rampa tiene un valor igual a Kr(t – TS).

Con las funciones de rampa, puede crear funciones triangulares y de dientes de sierra (o formas de onda). Aquí puede ver una rampa de fuerza unitaria, una rampa de fuerza K con un desplazamiento temporal de 1, una forma de onda triangular y una forma de onda en diente de sierra.

Construir estas formas de onda a partir de otras funciones es útil cuando se rompe la entrada en piezas reconocibles y se aplica la superposición.

A continuación se muestra cómo construir la función de triángulo que se muestra en la figura, utilizando las funciones de rampa:

  1. Gire en una rampa con una pendiente de 1 empezando en el momento t = 0.
  2. Añada una rampa que tenga una pendiente de -2 y comience en t = 1. En t = 1, verá que la función comienza a disminuir con una pendiente de -1. Pero antes, la pendiente de la función (desde la primera rampa) es 1; añadiendo una rampa con una pendiente de -2 a la primera rampa se obtiene una rampa con una pendiente de -1.
  3. Desconectar la segunda rampa añadiendo otra rampa retardada que tiene una pendiente de 1 y comienza en el momento t = 2. Añadiendo una rampa con una pendiente de 1, la pendiente vuelve a ser 0.

Aquí está el cálculo detrás de esto:

A continuación se explica cómo crear una función de dientes de sierra como la que se muestra en la figura, utilizando las funciones de rampa y paso:

  1. Comience con una rampa de pendiente (o fuerza) K multiplicada por un pulso rectangular de altura unitaria. Matemáticamente, usted tiene una rampa con una duración de tiempo específica:r1(t) = Kr(t)[u(t) – u(t – 1)].
  2. Aplique un retardo de tiempo de 1 al pulso de rampa r1(t) para obtener otro pulso de rampa r2(t) que es tiempo desplazado. obtendrá lo siguiente:r2(t) = Kr1(t – 1) = Kr(t – 1)[u(t – 1) – u(t – 2)].
  3. Repita el paso 2 para obtener más impulsos de rampa retardados a partir de 2, 3, 4, y así sucesivamente.
  4. Sume todas las funciones para obtener el diente de sierra st(t).

Aquí está la función de dientes de sierra:

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