Encuentre las respuestas de entrada cero y de estado cero de un circuito RC serie

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Por John Santiago

Para encontrar la respuesta total de un circuito de la serie RC, es necesario encontrar la respuesta de entrada cero y la respuesta de estado cero y luego sumarlas. Un circuito de primer orden de la serie RC tiene una resistencia (o red de resistencias) y un condensador conectado en serie.

Aquí hay un circuito de la serie RC dividido en dos circuitos. El diagrama superior derecho muestra la respuesta de entrada cero, que se obtiene ajustando la entrada a 0. El diagrama inferior derecho muestra la respuesta de estado cero, que se obtiene ajustando las condiciones iniciales a 0.

En primer lugar, se desea encontrar la respuesta de entrada cero para el circuito de la serie RC. El diagrama de arriba a la derecha muestra la señal de entrada vT(t) igual a 0. Tensión de entrada nula significa que usted tiene cero…. nada… . zip ….. entrada para todos los tiempos. La respuesta de salida se debe a la condición inicial V0 (tensión inicial del condensador) en el momento t = 0. La ecuación diferencial de primer orden se reduce a

Aquí, vZI(t) es la tensión del condensador. Para una fuente de entrada ajustada a 0 voltios como se muestra aquí, la tensión del condensador se denomina respuesta de entrada cero o respuesta libre. Ninguna fuerza externa (como una batería) actúa sobre el circuito, excepto el estado inicial de la tensión del condensador.

Usted puede razonablemente adivinar que la solución es la función exponencial (puede comprobar y verificar la solución después). Intenta un exponencial porque la derivada temporal de un exponencial es también un exponencial. Sustituye esa conjetura en la ecuación del circuito de primer orden de RC:

Las constantes A y k son constantes arbitrarias de la respuesta de entrada cero. Ahora sustituye la solución vZI(t) = Aekt en la ecuación diferencial:

Se obtiene una ecuación característica algebraica después de establecer la ecuación igual a 0 y factorizar Aekt:

Aekt(1 + RCk) = 0

La ecuación característica le da un problema mucho más simple. El coeficiente de ekt tiene que ser 0, así que sólo resuelve la constante k:

Cuando tienes k, tienes la respuesta de entrada cero vZI(t). Usando k = -1/RC, se puede encontrar la solución a la ecuación diferencial para la entrada cero:

Ahora puede encontrar la constante A aplicando la condición inicial. En el momento t = 0, la tensión inicial es V0, lo que le da

La constante A es simplemente la tensión inicial V0 a través del condensador.

Finalmente, tienes la solución a la tensión del condensador, que es la respuesta de entrada cero vZI(t):

El término constante RC en esta ecuación se denomina constante de tiempo. La constante de tiempo proporciona una medida de cuánto tiempo un condensador se ha descargado o cargado. En este ejemplo, el condensador comienza en algún estado inicial de voltaje V0 y se disipa silenciosamente en el olvido a otro estado de 0 voltios.

Suponga que RC = 1 segundo y voltaje inicial V0 = 5 voltios. Este circuito de muestra traza la exponencial de decaimiento, mostrando que toma aproximadamente 5 constantes de tiempo, o 5 segundos, para que la tensión del condensador decaiga a 0.

Encontrar la respuesta de estado cero centrándose en la fuente de entrada

La respuesta de estado cero significa cero condiciones iniciales, y requiere encontrar el voltaje del condensador cuando hay una fuente de entrada, vT(t). Es necesario encontrar soluciones homogéneas y particulares para obtener una respuesta de estado cero. Para encontrar condiciones iniciales cero, se mira el circuito cuando no hay voltaje a través del condensador en el momento t = 0.

El circuito en la parte inferior derecha de este circuito de muestra tiene cero condiciones iniciales y un voltaje de entrada de VT(t) = u(t), donde u(t) es una entrada escalonada de la unidad.

Matemáticamente, puede describir la función escalonada u(t) como

La señal de entrada se divide en dos intervalos de tiempo. Cuando t < 0, u(t) = 0. The first-order differential equation becomes

Ya has encontrado la solución antes del tiempo t = 0, porque vh(t) es la solución a la ecuación homogénea:

La constante arbitraria c1 se determina después de encontrar la solución particular y aplicar la condición inicial V0 de 0 voltios.

Ahora encuentre la solución particular vp(t) cuando u(t) = 1 después de t = 0.

Después del tiempo t = 0, una entrada escalonada de la unidad describe el comportamiento de la tensión transitoria a través del condensador. La tensión del condensador que reacciona a una entrada escalonada se denomina respuesta escalonada.

Para una entrada escalonada vT(t) = u(t), tienes una ecuación diferencial de primer orden:

Ya sabes que el valor del paso u(t) es igual a 1 después de t = 0. Sustituye u(t) = 1 en la ecuación anterior:

Resuelve para la tensión del condensador vp(t), que es la solución particular. La solución particular siempre depende de la señal de entrada actual.

Debido a que la entrada es una constante después de t = 0, se supone que la solución vp(t) en particular también es una constante VA.

La derivada de una constante es 0, lo que implica lo siguiente:

Ahora sustituye vp(t) = VA y su derivada en la ecuación diferencial de primer orden:

Después de un período de tiempo relativamente largo, la solución particular sigue la entrada de paso de la unidad con la fuerza VA = 1. En general, una entrada escalonada con fuerza VA o VAu(t) conduce a una tensión de condensador de VA.

Después de encontrar las soluciones homogéneas y particulares, se suman las dos soluciones para obtener la respuesta de estado cero vZS(t). Usted encuentra c1 aplicando la condición inicial que es igual a 0.

Sumando la solución homogénea y la solución particular, se obtiene vZS(t):

Sustituir en las soluciones homogéneas y particulares le da

A t = 0, la condición inicial es vc(0) = 0 para la respuesta de estado cero. A continuación, calcule vZS(0) como

A continuación, resuelve para c1:

Sustituir c1 en la ecuación de estado cero para producir la solución completa de la respuesta de estado cero vZS(t):

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