Factorizar una ecuación cuadrática por términos de agrupación

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Por Mary Jane Sterling

El factoraje por términos de agrupación es un gran método para reescribir una ecuación cuadrática de modo que puedas usar la propiedad de multiplicación de cero y encontrar todas las soluciones.

La idea principal detrás del factoraje por agrupación es organizar los términos en agrupaciones más pequeñas que tienen un factor común. Vas a pequeñas agrupaciones porque no puedes encontrar un mayor factor común para todos los términos; sin embargo, al tomar dos términos a la vez, puedes encontrar algo por lo que dividirlos.

Por ejemplo, mira la ecuación cuadrática

2×2 + 8x – 5x – 20 = 0,

que tiene cuatro términos. (Aunque se pueden combinar los dos términos medios de la izquierda, en este caso, déjelos como están para el proceso de agrupación.)

Los cuatro términos de la ecuación no comparten un gran factor común. Puede dividir el primer, segundo y cuarto trimestres equitativamente entre 2, pero el tercer trimestres no cumple. Los tres primeros términos tienen un factor x, pero el último no. Por lo tanto, se agrupan los dos primeros términos y se elimina su factor común, 2x. Los dos últimos términos tienen un factor común de -5. La forma factorizada, por lo tanto, es

2x(x + 4) – 5(x + 4) = 0.

La nueva forma factorizada tiene dos términos. Cada uno de los términos tiene un factor (x + 4), por lo que puede dividir ese factor entre cada término. Cuando divides el primer término, te quedan dos veces más. Cuando divides el segundo término, te quedan -5. Su nueva forma factorizada es

(x + 4)(2x – 5) = 0.

Ahora puede establecer cada factor igual a cero para obtener

Ten en cuenta que el factoraje por agrupación sólo funciona cuando puedes crear una nueva forma de la ecuación cuadrática que tenga menos términos y un factor común. Si el factor (x + 4) no hubiera aparecido en ambos términos factorizados en este ejemplo, habrías ido en una dirección diferente.

Resolver ecuaciones cuadráticas agrupando y factorizando es aún más importante cuando los exponentes en las ecuaciones se hacen más grandes. Por ejemplo, la ecuación

5×3 + x2 – 45x – 9 = 0

es una ecuación de tercer grado (la potencia máxima de cualquiera de las variables es 3), por lo que tiene el potencial para tres soluciones diferentes. No puedes encontrar un factor común a los cuatro términos, así que agrupa los dos primeros términos, factoriza x2, agrupa los dos últimos términos y factoriza -9. La ecuación factorizada es

x2(5x + 1) – 9(5x + 1) = 0

El factor común de los dos términos en la nueva ecuación es (5x + 1), así que lo divides entre los dos términos para obtener

(5x + 1)(x2 – 9) = 0

El segundo factor es la diferencia de cuadrados, así que puedes reescribir la ecuación como

(5x + 1)(x – 3)(x + 3) = 0

Las tres soluciones son

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