Funciones sinusoidales y análisis de circuitos

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Por John Santiago

Las funciones sinusoidales (seno y coseno) aparecen en todas partes, y juegan un papel importante en el análisis de circuitos. Las funciones sinusoidales proporcionan una buena aproximación para describir el comportamiento de entrada y salida de un circuito no sólo en la ingeniería eléctrica sino en muchas ramas de la ciencia y la ingeniería.

La función sinusoidal es periódica, lo que significa que su gráfico contiene una forma básica que se repite una y otra vez indefinidamente. La función continúa para siempre, oscilando a través de interminables picos y valles en ambas direcciones negativas y positivas del tiempo. Aquí están algunas partes clave de la función:

  • La amplitud VA define los picos máximos y mínimos de las oscilaciones.
  • La frecuencia f0 describe el número de oscilaciones en 1 segundo.
  • El período T0 define el tiempo necesario para completar 1 ciclo.

El período y la frecuencia son recíprocos entre sí y se rigen por la siguiente relación matemática:

Aquí hay una función de coseno que se puede utilizar como señal de referencia:

Puede mover funciones sinusoidales hacia la izquierda o hacia la derecha con un desplazamiento temporal, así como aumentar o disminuir la amplitud. También puede describir una función sinusoidal con un desplazamiento de fase en términos de una combinación lineal de funciones seno y coseno. Aquí hay una función de coseno y una función de coseno desplazado con un desplazamiento de fase de π/2.

Desviación de fase en una función sinusoidal

Una señal que está fuera de fase se ha desplazado hacia la izquierda o hacia la derecha en comparación con una señal de referencia:

  • Desplazamiento a la derecha: Cuando una función se mueve hacia la derecha, entonces se dice que la función está retrasada. El coseno retardado tiene su pico que ocurre después del origen. Una señal retrasada también se dice que es una señal de retardo porque la señal llega más tarde de lo esperado.
  • Cambio a la izquierda: Cuando la función del coseno se desplaza hacia la izquierda, se dice que la función de desplazamiento es avanzada. El pico de la señal avanzada ocurre justo antes del origen. Una señal avanzada también se denomina señal de derivación porque la señal de derivación llega antes de lo esperado.

Aquí hay ejemplos de funciones de coseno no desplazado, retardado y de coseno de plomo.

Para ver el aspecto matemático de un desplazamiento de fase, primero eche un vistazo a la señal de referencia:

Con t = 0, el pico positivo VA sirve como punto de referencia. Para desplazar el punto de referencia por el TimeShift TS, sustituya la t por (t – TS):

dónde

El factor ϕ es el desplazamiento de fase (o ángulo). El desplazamiento de fase es el ángulo entre t = 0 y el pico positivo más cercano. Puedes ver la ecuación anterior como la representación polar del sinusoide. Cuando el desplazamiento de fase es π/2, entonces el coseno desplazado es una función seno.

Expresar el ángulo de fase en radianes para asegurarse de que está en las mismas unidades que el argumento del coseno (2πt/T0 – ϕ). Los ángulos pueden ser expresados en radianes o grados; asegúrese de usar la configuración correcta en su calculadora.

Cuando se tiene un desplazamiento de fase ϕ en la salida cuando se compara con la entrada, normalmente es causado por el propio circuito.

Expandir una función sinusoidal y encontrar coeficientes de Fourier

El sinusoide general v(t) implica el coseno de una diferencia de ángulos. En muchas aplicaciones, puede expandir el sinusoide general utilizando la siguiente identidad trigonométrica:

La expansión del sinusoide general v(t) conduce a

Los términos c y d son sólo constantes especiales llamadas coeficientes de Fourier. Puede expresar la forma de onda como una combinación de senos y cosenos de la siguiente manera:

La función v(t) describe una señal sinusoidal en forma rectangular.

Si conoces tus números complejos que van entre formas polares y rectangulares, entonces puedes ir entre las dos formas de los sinusoides. Los coeficientes de Fourier c y d están relacionados por la amplitud VA y la fase ϕ

Si vuelves a encontrar VA y ϕ a partir de los coeficientes de Fourier c y d, terminas con estas expresiones:

La función de tangente inversa en una calculadora tiene una ambigüedad de fase positiva o negativa de 180° (o π). Puede calcular la fase observando los signos de los coeficientes de Fourier c y d. Dibuje los puntos c y d en el sistema rectangular, donde c es el componente x (o abscisa) y d es el componente y (u ordenada).

La relación de d/c puede ser negativa en los cuadrantes II y IV. El uso del sistema rectangular ayuda a determinar los ángulos cuando se toma la arctangente, cuyo rango es de -π/2 a π/2.

Conectar funciones sinusoidales a exponenciales con la fórmula de Euler

La fórmula de Euler conecta las funciones de trigonometría con funciones exponenciales complejas. La fórmula establece que para cualquier número real θ, tienes las siguientes expresiones exponenciales complejas:

El exponente jθ es un número imaginario, donde j = √-1.

El número imaginario j es el mismo que el número i de tus clases de matemáticas, pero toda la gente guay usa j para números imaginarios porque i significa corriente.

Puedes sumar y restar las dos ecuaciones precedentes para obtener las siguientes relaciones:

Estas ecuaciones dicen que las funciones del coseno y del seno se construyen como una combinación de exponenciales complejos. Los exponenciales complejos juegan un papel importante cuando se analizan circuitos complejos que tienen dispositivos de almacenamiento como condensadores e inductores.

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