Identificación de ecuaciones diferenciales ordinarias, parciales y lineales

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Por Mark Zegarelli

Las ecuaciones diferenciales (ED) vienen en muchas variedades. Y diferentes variedades de ED pueden ser resueltas usando diferentes métodos. Puede clasificar las DE como Des ordinarias y parciales. Además de esta distinción, pueden distinguirse por su orden.

Aquí hay algunos ejemplos:

Resolver una ecuación diferencial significa encontrar el valor de la variable dependiente en términos de la variable independiente. Los siguientes ejemplos usan y como variable dependiente, por lo que el objetivo en cada problema es resolver y en términos de x.

Una ecuación diferencial ordinaria (ODE) sólo tiene derivados de una variable, es decir, no tiene derivados parciales. He aquí algunos ejemplos de OED:

Por el contrario, una ecuación diferencial parcial (PDE) tiene al menos una derivada parcial. He aquí algunos ejemplos de PDE:

Los ED se clasifican además según su orden. Esta clasificación es similar a la clasificación de las ecuaciones polinómicas por grado.

Las OED de primer orden contienen sólo derivados de primer orden. Por ejemplo:

Los OED de orden superior se clasifican, al igual que los polinomios, por el mayor orden de sus derivados. Aquí hay ejemplos de OED de segundo, tercer y cuarto orden:

Al igual que con los polinomios, en términos generales, una ED de orden superior es más difícil de resolver que una de orden inferior.

Lo que constituye una ecuación diferencial lineal depende ligeramente de a quién le preguntes. A efectos prácticos, un DE lineal de primer orden encaja en el siguiente formulario:

donde a(x) y b(x) son funciones de x. He aquí algunos ejemplos de ED lineales de primer orden:

Los ED lineales a menudo pueden resolverse, o al menos simplificarse, utilizando un factor de integración.

Un DE lineal de segundo grado encaja en el siguiente formulario:

donde a, b y c son constantes. Aquí hay algunos ejemplos:

Tenga en cuenta que la constante a siempre puede reducirse a 1, lo que da lugar a ajustes en los otros dos coeficientes.

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