s-Domain Analysis: Entendiendo los polos y ceros de F(s)

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Por John Santiago

Las transformaciones de Laplace se pueden utilizar para predecir el comportamiento de un circuito. La transformación Laplace toma una función de dominio de tiempo f(t), y la transforma en la función F(s) en el s-dominio. Puede ver las transformaciones de Laplace F(s) como relaciones de polinomios en el s-dominio. Si encuentras las raíces (polos) reales y complejas de estos polinomios, puedes tener una idea general de cómo será la forma de onda f(t).

Por ejemplo, como se muestra en esta tabla, si las raíces son reales, entonces la forma de onda es exponencial. Si son imaginarios, entonces es una combinación de senos y cosenos. Y si son complejos, entonces es un sinusoide amortiguador.

Las raíces del polinomio en el numerador de F(s) son ceros, y las raíces del polinomio en el denominador son polos. Los polos resultan en F(s) que explotan hasta el infinito o que son indefinidos – son las asíntotas verticales y los agujeros en su gráfico.

Normalmente, se crea un diagrama de polo cero trazando las raíces en el plano s (ejes reales e imaginarios). El diagrama de polo cero proporciona una vista geométrica e interpretación general del comportamiento del circuito.

Por ejemplo, considere la siguiente transformación de Laplace F(s):

Esta expresión es una relación de dos polinomios en s. Factorizando el numerador y el denominador se obtiene la siguiente descripción de Laplace F(s):

Los ceros, o raíces del numerador, son s = -1, -2. Los polos, o raíces del denominador, son s = -4, -5, -8.

Tanto los polos como los ceros son llamados colectivamente frecuencias críticas porque el comportamiento loco de la salida ocurre cuando F(s) va a cero o explota. Combinando los polos y ceros, se obtiene el siguiente conjunto de frecuencias críticas: {–1, –2, –4, –5, –8}.

Este diagrama de polo cero traza estas frecuencias críticas en el plano s, proporcionando una vista geométrica del comportamiento del circuito. En este diagrama de polos-cero, X denota polos y O denota los ceros.

Aquí hay algunos ejemplos de los polos y ceros de las transformaciones de Laplace, F(s). Por ejemplo, la transformación Laplace F1(s) para un exponencial de amortiguación tiene un par de transformación de la siguiente manera:

La transformación exponencial F1(s) tiene un polo en s = y no tiene ceros. Aquí se ve el polo de F1(s) trazado en el eje real negativo en el semiplano izquierdo.

La función seno tiene el siguiente par de transformación de Laplace:

La ecuación anterior no tiene ceros y dos polos imaginarios – en s = +jβ y s = -jβ. Los polos imaginarios siempre vienen en pares. Estos dos polos no están amortiguados, porque cuando los polos se encuentran en el eje imaginario , la función f(t) oscilará para siempre, sin que nada los amortigue. Aquí puede ver un gráfico del diagrama de polos cero para una función sinusoidal.

Una función de rampa tiene el siguiente par de transformadores Laplace:

La función de rampa tiene doble polo en el origen (s = 0) y no tiene ceros.

Aquí hay un par de transformadores para una señal de coseno amortiguada:

La ecuación anterior tiene dos polos complejos en s = α + y s = α y un cero en s = .

Los polos complejos, como los polos imaginarios, siempre vienen en pares. Siempre que tenga un par de polos complejos, la función tiene oscilaciones que serán amortiguadas a cero en el tiempo – no durarán para siempre. El comportamiento sinusoidal amortiguado consiste en una combinación de un oscilador exponencial (debido a la parte real α del número complejo) y sinusoidal (debido a la parte imaginaria β del número complejo).

Aquí se representa el diagrama de polo cero para un coseno amortiguado.

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