Transformaciones de Laplace y análisis de circuitos de s-Domain

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Por John Santiago

Los métodos de transformación de Laplace pueden emplearse para estudiar los circuitos en el s-dominio. Las técnicas Laplace convierten circuitos con señales de voltaje y corriente que cambian con el tiempo al s-dominio para que pueda analizar la acción del circuito usando sólo técnicas algebraicas.

Las restricciones de conexión son aquellas leyes físicas que hacen que las tensiones y corrientes de los elementos se comporten de ciertas maneras cuando los dispositivos se interconectan para formar un circuito. También tiene restricciones en los dispositivos individuales, donde cada dispositivo tiene una relación matemática entre el voltaje a través del dispositivo y la corriente a través del dispositivo. Aquí aprenderá cómo son las restricciones de conexión, las restricciones de dispositivo, las impedancias y las admisiones en el s-dominio.

Restricciones de conexión en el s-dominio

Transformar las restricciones de conexión al s-dominio es pan comido. La ley actual de Kirchhoff (KCL) dice que la suma de las corrientes de entrada y salida es igual a 0. He aquí una ecuación típica de KCL descrita en el dominio del tiempo:

Debido a la propiedad de linealidad de la transformación Laplace, la ecuación KCL en el s-dominio se convierte en la siguiente:

La ley de tensión de Kirchhoff (KVL) se transforma de la misma manera. KVL dice que la suma de las subidas y bajadas de tensión es igual a 0. He aquí una ecuación clásica de KVL descrita en el dominio del tiempo:

Debido a la linealidad, la ecuación KVL en el s-dominio produce

La forma básica de la KVL sigue siendo la misma. ¡Pan comido!

Restricciones del dispositivo en el s-dominio

Puedes transformar fácilmente las restricciones i-v de dispositivos tales como fuentes independientes y dependientes, amperios op, resistencias, condensadores e inductores a ecuaciones algebraicas en el s-dominio. Después de convertir las restricciones del dispositivo, todo lo que necesita es álgebra para traducir las relaciones de corriente y tensión al s-dominio.

Transformar fuentes independientes es una tarea fácil porque el s-dominio tiene la misma forma que el dominio de tiempo:

La conversión de fuentes dependientes también es fácil. Aquí están las ecuaciones para fuentes de tensión controladas por tensión (VCVS), fuentes de corriente controladas por tensión (VCCS), fuentes de tensión controladas por corriente (CCVS) y fuentes de corriente controladas por corriente (CCCS):

Las constantes μ, g, r, andβ relacionan las fuentes de salida dependientes V2(s) e I2(s) controladas por las variables de entrada V1(s) e I1(s).

Para resistencias, condensadores e inductores, se convierten sus relaciones i-v al s-dominio utilizando las propiedades de transformación de Laplace, como la integración y las propiedades derivadas:

Las tres ecuaciones precedentes a la derecha son modelos de s-dominio que utilizan fuentes de tensión para la tensión inicial del condensador vC(0) y la corriente inicial del inductor iL(0).

Puede reescribir estas ecuaciones en el s-dominio para modelar las condiciones iniciales, vC(0) e iL(0), como fuentes actuales:

Usted ve que no hay integrales o derivados en el s-dominio.

La columna central muestra aquí las restricciones de los dispositivos pasivos en el dominio de tiempo que se está convirtiendo en s-domain. La columna izquierda muestra las condiciones iniciales modeladas como fuentes de tensión en el s-dominio, y la columna derecha muestra las condiciones iniciales modeladas como fuentes de corriente en el s-dominio.

Tomar en cuenta las condiciones iniciales en el análisis de s-domain para condensadores e inductores es un gran problema porque acelera el análisis. Cuando se transforman ecuaciones diferenciales en el s-dominio, se tratan simultáneamente las fuentes de entrada y las condiciones iniciales.

Las limitaciones de los amplificadores operativos ideales no cambian de forma en el s-dominio:

Impedancia y admitancia

La impedancia Z relaciona el voltaje y la corriente descritos en el s-dominio cuando las condiciones iniciales se ajustan a 0. La siguiente forma algebraica de la relación i-v describe la impedancia en el s-dominio:

La admitancia Y es el recíproco de la impedancia; es útil cuando se analizan circuitos paralelos:

En el dominio s para condiciones iniciales cero, las restricciones de elementos, las impedancias Z(s) y las admitancias Y(s) para los dispositivos pasivos son las siguientes:

Ahora está listo para comenzar a analizar los circuitos en el s-dominio – sin tener que confiar en el cálculo.

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